الفصل الأول : المستقيمات و المستويات 0
(1) أي نقطتين مختلفتين أ ، ب يمر بهما مستقيم واحد وواحد فقط هو المستقيم أ ب
(2) بكل ثلاثة نقط ليست علي إستقامة واحدة يمر مستوي واحد وواحد فقط 0
(3) إذا إشترك مستقيم و مستوي في نقطتين مختلفتين فإن المستقيم يقع بأكمله داخل المستوي
(4) أي نقطة في المستوي يمر بها عدد لا نهائي من المستقيمات
(5) أي نقطة في الفراغ يمر بها عدد لا نهائي من المستويات0
(6) أي مستقيم في الفراغ يمر به عدد لا نهائي من المستويات 0
(7) يتعين المستوي بـ (أ) ثلاث نقط ليست علي إستقامة واحدة (ب) أو مستقيم و نقطة لا تنتمي له
(جـ) أو مستقيمان متقاطعان0
(
إذا كان ل مستقيم ، س مستوي و كان ل س = فإن ل // س (9) إذا إشترك مستويان مختلفان في نقطة فإنهما يشتركان في مستقيم يمر بهذه النقطة
(10) الزاوية بين مستقيمين متخالفين : هي الزاوية التي يصنعها أحدهما مع أي مستقيم مرسوم من
نقطة عليه موازياً الأخر
(11) يتوازي المستقيمان ل ، م إذا كان (أ) يجمعهما مستوي واحد (ب) ل م =
(12) المستويان الموازيان لثالث في الفراغ متوازيان 0
(13) المنشور : هو الجسم المتولد من إنتقال سطح مضلع موازياً لنفسه في إتجاه ثابت و يسمي سطح
المضلع قاعدة المنشور0
(14) متوازي السطوح : هو منشور كل من قاعدتيه متوازي أضلاع 0
(15) أقطار متوازي السطوح : هي القطع المستقيمة التي تصل بين رأسين ليسا في مستوي واحد
(16) متوازي المستطيلات : هو منشور قائم كل من قاعدتيه سطح مستطيل
(17) المكعب : هو متوازي مستطيلات تساوت أبعاده الثلاثة0
(18) الهرم المنتظم : هو هرم أوجهه الأربعة مثلثات متساوية الأضلاع 0
(19) نظرية (1) إذا وازي مستقيم مستوي فإنه يوازي جميع المستقيمات التي تنشأ عن تقاطع هذا
المستوي مع المستويات التي تحتوي هذا المستقيم 0
(20) إذا وازي مستقيم خارج مستوي مستقيما في المستوي فإنه يوازي ذلك المستوي
(21) إذا قطع مستوي مستويين متوازيين فخطا تقاطعه معهما يكونان متوازيين
(22) إذا قطع مستقيم أحد مستويين متوازيين فإنه يقطع الأخر
(23) إذا توازي مستقيمان و مر بكل منهما مستوي و تقاطع المستويان كان خط تقاطعهما موازياً
لهذين المستقيمين0
(24) إذا وازي مستقيم كل من مستويين متقاطعين فإنه يوازي خط تقاطعهما
(25) تمرين مشهور : إذا قطعت عدة مستويات متوازية بمستقيمين فإن أطوال القطع المستقيمة
المحصورة بينها تكون متناسبة 0
(26) نظرية (2) : إذا تقاطع مستقيمان في مستوي و كانا موازيين لمستقيمين متقاطعين في مستوي
اخر كان مستوي المستقيمين الأولين موازياً لمستوي المستقيمين الأخرين0
(27) إذا كان المستقيم عمودياُ علي كل مستقيم في مستوي كان هذا المستقيم عمودياُ علي المستوي
(28) نظرية (3) : المستقيم العمودي علي كل من مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعهما يكون
عمودياً علي مستويهما 0
(29) إذا كان مستقيم عمودياً علي كل من مستقيمين مستويين معاً و غير متوازيين فإنه يكون عمودياً
علي مستويهما
(30) جميع الأعمدة المرسومة علي مستقيم من نقطة عليه تقع في مستوي واحد هو المستوي
العمودي علي هذا المستقيم
(31) يوجد مستوي واحد وواحد فقط عمودي علي مستقيم من نقطة عليه0
(32) المستقيمان العمودان علي مستوي واحد متوازيان
(33) إذا كان مستقيم عمودياً علي كل من مستويين فإنهما يكونان متوازيان
ـ والمستقيم العمودي علي أحد مستويين متوازييـــــــن يكون عمـــــودي علي الأخـــــر 0
الفصل الثاني : الإسقاط العمودي 0
(34) المسقط العمودي لنقطة معلومة علي مستوي معلوم هو موقع القطعة المستقيمة العمودية
المرسومة من النقطة المعلومة علي المستوي0
(35) الزاوية بين قطعة مستقيمة و مستوي : هي الزاوية بين القطعة المستقيمة و مسقطها علي المستوي و هي الزاوية بين المستقيم الحامل للقطعة المستقيمة و المستوي 00
و تسمي بـ ( زاوية ميل المستقيم علي المستوي )
(36) نظرية (4) : إذا رسم مستقيم مائل علي مستوي و كان عمودياً علي مستقيم في المستوي فإن
مسقط المستقيم المائل علي المستوي يكون عمودياً علي هذا المستقيم 00
(37) عكس نظرية (4) : إذا رسم مستقيم مائل علي مستوي و كان مسقطه علي المستوي عمودياً علي مستقيم فيه كان هذا المستقيم المائل عمودياً علي ذلك المستقيم
(38) الزاوية الزوجية : إذا كان لنصفي مستويين حد مشترك فإن إتحاد نصفي المستويين مع ذلك الحد
( يسمي زاوية زوجية)
(39) الزاوية المستوية لزاوية زوجية : هي الزاوية الناشئة من تقاطع الزاوية الزوجية مع أي مستو
عمودي علي حافتها : و قياسها = قياس الزواية الزوجية
(40) جميع الزوايا المستوية لزاوية زوجية تكون متساوية في القياس
(41) نظرية (5) إذا تعامد مستويان و رسم في أحدهما مستقيم عمودي علي خط التقاطع كان هذا
المستقيم عمودياً علي المستوي الأخر 00
(42) إذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودياً علي مستو ثالث كان خط تقاطع هذين المستويين
عمودياَ علي المستوي الثالث 00
(43) الهرم القائم هو هرم قاعدته سطح مضلع منتظم مركزه هو موقع العمود النازل من رأس الهرم علي
قاعدته
ملاحظات هامة جداً في الهندسة الفراغية ـ
1ـ إذا كان المعطي : مستقيم يوازي مستوي ـ نبحث عن مستوي يحتوي ذلك المستقيم و يقطع المستوي فيكون المستقيم موازياً خط تقاطع المستويين ..
2ـ إذا كان المعطي : مستويين متوازيين ـ نبحث عن مستوي ثالث قاطع لهما فيكون خطا تقاطعه معهما متوازيان
3ـ إذا كان المعطي مستقيم يوازي مستقيم : نبحث عن مستويين كل مستوي منهما يحوي مستقيم فيكون خط تقاطع المستويين موازياً لهذين المستقيمين ..
4ـ لإثبات أن مستقيم يوازي مستوي : نثبت أنه يوازي مستقيم في المستوي ..
5ـ لإثبات أن مستوي يوازي مستوي : نثبت أن مستقيمين متقاطعين في المستوي الأول يوازيان مستقيمين
متقاطعين في المستوي الثاني
6ـ لإثبات توازي مستقيمين : ـ نثبت أن تقاطعهما = و يجمعهما مستوي واحد ..
ـ أو نبحث عن مستويين متوازيين و مستوي ثالث قاطع لهما أو منصفات أضلاع مثلث أو .......
7ـ لإثبات أن ثلاث نقط علي إستقامة واحدة : نثبت أن كل منهم يقع علي خط تقاطع مستويين
هام جداً : نستفيد من التوازي بصفة عامة في [ التشابه ، النسب ، التطابق ، المساحات ، إثبات أشكال مثل متوازي الأضلاع ، شبه المنحرف ، معين .... ]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
8ـ إذا كان المعطي مستقيم عمودي علي مستوي : يكون عمودي علي كل مستقيم في المستوي
9ـ إذا كان المعطي مستويان متعامدان : إذا رسم في أحدهما عمود علي خط التقاطع يكون عمودي علي المستوي الأخر
10ـ إذا وجد مستقيم عمودي علي مستوي يكون هناك مستقيم مائل علي ذلك المستوي و له مسقط وذلك
لإيجاد زاوية ميل مستقيم علي مستوي
11ـ لإثبات أن مستقيم عمودي علي مستوي : نثبت أنه عمودي علي مستقيمين متقاطعين في المستوي
12ـ لإثبات تعامد مستويين : نثبت أن مستقيم في احدهما عمودي علي المستوي الأخر
13ـ لإيجاد زاوية مستوية للزاوية الزوجية بين مستويين ـ نحدد خط التقاطع ـ نرسم عمودان علي خط التقاطع من المستويين فتكون الزاوية بين العمودين هي الزاوية المستوية ....
هام جدا : فائدة التعامد [ إيجاد : أطوال أضلاع ، زوايا ، زوايا زوجية ، مساحات ، زاوية ميل قطعة
مستقيمة علي مستوي ، إثبات أشكال مثل المستطيل ، المربع ، ]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أكمل ما يأتي :ـ
(1) الزاوية بين مستقيمين متخالفين هي 000000
(2) إذا وازي مستقيم كلاً من مستويين متقاطعين فإنه 00000
(3) أ ب جـ أ/ ب/ جـ/ منشور ثلاثي : خط تقاطع المستوي أ ب جـ/ مع المستوي أ أ/ جـ/ جـ هو المستقيم 000
(4) الزاوية بين قطعة مستقيمة و مستوي هي الزاوية 000000
(5) إذا قطع مستوي كلاً من مستويين متوازيين فخطا تقاطعه معهما 00000
(6) طول قطر متوازي المستطيلات الذي أبعاده 4 سم ، 3 سم ، 12 سم يساوي 0000
(7) إذا قطعت عدة مستويات متوازية بمستقيمين فإن أطوال القطع المستقيمة المحصورة بينها تكون 000
(
إذا كان المستقيم ل عمودياً علي المستوي س فكل مستوي يحوي المستقيم ل يكون 00000 (9) المستقيمان العمودان علي مستوي واحد 00000
(10) الهرم القائم هو 00000
(11) أقطار متوازي السطوح هي القطع المستقيمة التي تصل بين 00000
(12) إذا رسم مستقيم مائل علي مستوي و كان عمودياً علي مستقيم في المستوي فإن مسقط المستقيم المائل علي المستوي يكون 0000
(13) إذا إشترك مستويان في ثلاث نقط ليست علي إستقامة واحدة فإنهما 00000
(14) إذا كان طول حرف مكعب 5 سم فإن طول قطره = 00000
(15) إذا وازي مستقيم خارج مستوي مستقيماً في المستوي فإنه 00000
(16) المستقيم العمودي علي كل من مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعهما فإنه يكون 0000
(17) إذا كان مستقيم عمودياً علي مستوي فكل مستوي يحوي هذا المستقيم يكون 00000
(18) إذا كان مستقيم عمودياً علي كل من مستقيمين مستويين معاً و غير متوازيين فإنه يكون 0000
(19) إذا رسم مستقيم مائل علي مستو و كان مسقطه علي المستو عمودياً علي مستقيم فيه كان هذا المستقيم
المائل 00000
(20) إذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودياً علي مستوي ثالث كان خط تقاطع هذين المستويين 0000
(21) إذا تعامد مستويان فكل مستقيم في أحدهما عمودي عل خط التقاطع يكون 00000
(22) إذا كانت مساحة سطح المكعب 96 سم2 فإن طول قطره 00000
(23) الزاوية المستوية لزاوية زوجية هي الزاوية الناشئة من 000000
(24) إذا كان طول قطر مكعب 5 3 سم فإن مساحة سطحه = 0000
(25) إذا كان حجم مكعب يساوي 64 سم3 فإن مجموع مساحات أوجهه تساوي 00000
(26) إذا كان لنصفي مستويين حد مشترك فإن اتحاد نصفي المستويين مع الحد ذلك المشترك يسمي 0000
(27) إذا كان طول قطر المكعب يساوي6 2 سم فإن مساحته الكلية تساوي 00000
(28) إذا قطع مستقيم أحد مستويين متوازيين فإنه 000000
(29) الهرم الثلاثي المنتظم هو هرم أوجهه الأربعة سطوح مثلثات 000000
(30) مقطع متوازي السطوح بمستوي يقطع أربعة أحرف متوازية فيه هو سطح 00000
(31) إذا اشترك مستقيم و مستوي في نقطتين مختلفتين فإن المستقيم 000000
(32) أقطار متوازي السطوح تقاطع جميعاً في نقطة واحدة هي 00000
(33) إذا وازي مستقيم مستوي فإنه يوازي جميع المستقيمات التي تنشأ عن تقاطع هذا المستوي مع 0000
(34) الزاوية المستوية لزوية زوجية هي الزاوية التي تنشأ من تقاطع الزاوية الزوجية مع أي 00000
(35) إذا إشترك مستويان مختلفان في نقطة فإنهما يشتركان في 000000
(36) مجموع أطوال أقطار متوازي المستطيلات الذي أبعاده : 15سم ، 5 3 سم ، 10سم يساوي000 سم
(37) إذا توازي مستقيمان و احتوي كلاً منهما مستوي و تقاطع المستويان كان خط تقاطعهما 00000
(38)إذا وازي مستقيم مستوي فالمستقيم الذي يمر بأي نقطة من نقط المستو موازياً للمستقيم المعلوم 000
(39) إذا كان طول قطر أحد أوجه مكعب 3 2 سم فإن مربع طول قطر هذا المكعب يساوي 0000
(40) إذا تقاطعت ثلاث مستويات مثني مثني فإن خطوط تقاطعها تكون ........... أو ...............
(41) قاعدة الهرم الرباعي القائم علي شكل .... و أوجهه الجانبية متطابقة و كل منها علي شكل ........
(42) عدد أحرف الهرم الثلاثي المنتظم ....... و جميعها متساوية في الطول و عدد أوجهه .... و كلها .....
(43) خط أكبر ميل علي مستوي هو المستقيم الذي يميل بزاوية ..................
(44) أجب عن الأسئلة الأتية :ـ أـ هل دائماً أي أربع نقط تقع في مستوي واحد
ب ـ هل المستقيمان العمودان علي مستقيم ثالث في الفراغ متوازيان ** جـ ـ ما اقل عدد من المستويات تحدد مجسماً
د ـ إذا كان مستقيم عمودي علي مستوي فهل يكون المستوي عمودي علي المستقيم .
مع تحيات أ/ حمدى ابو الحمد ربيعى