نظريات التناسب فى الهندسة
نظرية (1) إذا رسم مستقيم يوازى أحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين فإنه يقسمهما الى قطع أطوالهامتناسبة
عكس نظرية (1)
إذا قطع مستقيم ضلعين من أضلاع مثلث وقسمهما الى قطع أطوالها متناسبة فإنه يوازى الضلع الثالث
نظرية (2) ( تاليس العامة )
إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر.
حالة خاصة :
(2) إذا كانت أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين متساوية فى الطول فإن أطوال القطع الناتجة على أى قاطع آخر تكون متساوية فى الطول
نظرية (3)
إذا نصفت زاوية راس مثلث أو الزاوية الخارجة عند هذا الراس قسم المنصف قاعدة المثلث من الداخل او من الحارج الى جزاين النسبة بين طوليهما كالنسبة بين طولى الضلعين الاخرين للمثلث
ملاحظات فى هامة
(1) المنصفان الداخلى والخارجى لزاوية فى مثلث يقسمان القاعدة من الداخل ومن الخارج بنفس النسبة بين طولى الضلعين الاخرين للمثلث
(2) المنصفان الداخلى والخارجى لزاوية فى مثلث يكونان متعامدان
(3) منصف الزاوية الداخلة عند راس المثلث المتساوى الساقين ينصف القاعدة
(4) منصف الزاوية الخارجة عند راس المثلث المتساوى الساقين يوازى القاعدة
عكس نظرية (3)
إذاقسمت نقطة احد اضلاع مثلث من الداخل او من الخارج الى جزاين النسبة بين طوليهما تساوى النسبة بين طولى الضلعين الاخرين كان الشعاع الذى مبدؤه الراس المقابل مارا بنقطة التقسيم هو المنصف للزاوية الداخلة او الخارجة عند
هذا الراس حسب حالة التقسيم
التشابه : - تشابه مضلعين : - يقال لمضلعين(لهما نفس عدد الاضلاع)
انهما متشابهان :إذاتحقق الشرطين الاتيين معا : -
(1)تساوى قياساتالزوايا المتناظرة (2)تناسب اطوال الاضلاع المتناظرة
ملاحظات هامة
(1)يجب كتابة المضلعين بنفس ترتيب رءوسهما المتناظرة
(2) إذاتشابه مضلعان فإننا نستنتج أن : - (1) قياسات زواياهما المتناظرة متساوية
(2)أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة
(3)المضلعان المتطابقان متشابهان بينما ليس من الضرورى ان يكون المضلعان المتشابهان متطابقين
(4)المضلعان المشابهان لثالث متشابهان
(5) اى مضلعين منتظمين لهما نفس عدد الاضلاع يكونان متشابهين
تشابه المثلثات :- الحالة الاولى ـــ نظرية 4
إذاساوت قياسات زوايا أحد مثلثين قياسات نظائرهما فى المثلث الاخر كان المثلثان متشابهان
ملاحظات
(1)يتشابه المثلثان إذاساوى قياسا زاويتين من احدهما قياسا زاويتين فى الاخر
(2) يتشابه المثلثان القائما الزاوية إذاساوىقياس زاوية حادة من احدهما إذاساوىقياس زاوية حادة من الاخر
(3) يتشابه المثلثان المتساويا الساقين إذاساوىقياس إحدى زاويتى القاعدة فى احدهما قياس إحدى زاويتى القاعدة فى الاخر
(4) إذا رسم مستقيم يوازى احد اضلاع مثلث ويقطع الضلعين الاخرين او امتداد يهما فان المثلث الناتج
تذكر أن : -
(1)الزاوية المحيطية المرسومة فى نصف دائرة قائمة وقياسها =590
(2)الزوايا المحيطية التى تحصر نفس القوس فى الدائرة او اقواس متساوية او فى دوائر متطابقة متساوية
(3)قياس الزاوية المماسية يساوى قياس الزاوية المحيطية المرسومة على وتر التماس من الجهة الاخرى
(4)فى الشكل الرباعى الدائرى كل زاويتين متقابلتين متكاملتان
(5)قياس الزاوية الخارجة عند اى راس من رؤوس شكل رباعى دائرى = المقابلة للمجاورة لها
نتيجة هامة
إذارسم من راس القائمة فى المثلث القائم الزاوية عمود على الوتر انقسم المثلث الى مثلثين متشابهين وكل منهما يشابه المثلث الاصلى
الحالة الثانية نظرية(5) إذاساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث اخر وتناسبت اطوال الاضلاع التى تحتويها هاتان الزاويتان فإن المثلثين يتشابهان
الحالة الثالثة نظرية (6) إذاتناسبت أطوال الاضلاع المتناظرة فى مثلثين فإن المثلثين يتشابهان
نظرية(7) النسبة بين مساحتى مثلثين متشابهين تساوى مربع النسبة بين اى ضلعين متناظرين
ملاحظة :- النسبة بين محيطى مثلثين متشابهين تساوى النسبة بين اى ضلعين متناظرين فيهما اى نسبة التكبير
ملاحظات(1)النسبة بين مساحتى مثلثين متحدين فى
حقيقة هندسية
المضلعان المتشابهان يمكن ان ينقسما الى نفس العدد من المثلثات التى يشابه كل منها نظيرة
نظرية(
النسبة بين مساحتى مضلعين متشابهين تساوى مربع النسبة بين طولى اى ضلعين متناظرين فيهما
ملاخظة النسبة بين محيطى مضلعين متشابهين بتساوى النسبة بين اى ضلعين متناظرين بدون التربيع
تمارين مشهورة
(1) إذاتقاطع المستقيمان الحاويان للوترين أ ب , جـ د لدائرة داخلها او خارجها فى نقطة م حيث م ليست مركز الدائرة
فإن م أ × م ب = م جـ × م د
عكس التمرين المشهورالسابق
إذاتقاطع المستقيمان الحاويان للقطعتين أب , جـ د فى نقطة م ( مختلفة عن أ , ب , جـ , د)
وكان م أ× م ب= م جـ × م د فإن النقط أ , ب , جـ , د تقع على دائرة ويكون الشكل الرباعى دائرى
نتيجة هامة
إذاكانت م نقطة خارج دائرة , م جـ يمس الدائرة عند جـ
, م ب يقطعها فى أ , ب فإن ( م جـ )2= م أ × م ب
مع تحيات أ/ حمدى ابو الحمد ربيعى
نظرية (1) إذا رسم مستقيم يوازى أحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين فإنه يقسمهما الى قطع أطوالهامتناسبة
عكس نظرية (1)
إذا قطع مستقيم ضلعين من أضلاع مثلث وقسمهما الى قطع أطوالها متناسبة فإنه يوازى الضلع الثالث
نظرية (2) ( تاليس العامة )
إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر.
حالة خاصة :
(2) إذا كانت أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين متساوية فى الطول فإن أطوال القطع الناتجة على أى قاطع آخر تكون متساوية فى الطول
نظرية (3)
إذا نصفت زاوية راس مثلث أو الزاوية الخارجة عند هذا الراس قسم المنصف قاعدة المثلث من الداخل او من الحارج الى جزاين النسبة بين طوليهما كالنسبة بين طولى الضلعين الاخرين للمثلث
ملاحظات فى هامة
(1) المنصفان الداخلى والخارجى لزاوية فى مثلث يقسمان القاعدة من الداخل ومن الخارج بنفس النسبة بين طولى الضلعين الاخرين للمثلث
(2) المنصفان الداخلى والخارجى لزاوية فى مثلث يكونان متعامدان
(3) منصف الزاوية الداخلة عند راس المثلث المتساوى الساقين ينصف القاعدة
(4) منصف الزاوية الخارجة عند راس المثلث المتساوى الساقين يوازى القاعدة
عكس نظرية (3)
إذاقسمت نقطة احد اضلاع مثلث من الداخل او من الخارج الى جزاين النسبة بين طوليهما تساوى النسبة بين طولى الضلعين الاخرين كان الشعاع الذى مبدؤه الراس المقابل مارا بنقطة التقسيم هو المنصف للزاوية الداخلة او الخارجة عند
هذا الراس حسب حالة التقسيم
التشابه : - تشابه مضلعين : - يقال لمضلعين(لهما نفس عدد الاضلاع)
انهما متشابهان :إذاتحقق الشرطين الاتيين معا : -
(1)تساوى قياساتالزوايا المتناظرة (2)تناسب اطوال الاضلاع المتناظرة
ملاحظات هامة
(1)يجب كتابة المضلعين بنفس ترتيب رءوسهما المتناظرة
(2) إذاتشابه مضلعان فإننا نستنتج أن : - (1) قياسات زواياهما المتناظرة متساوية
(2)أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة
(3)المضلعان المتطابقان متشابهان بينما ليس من الضرورى ان يكون المضلعان المتشابهان متطابقين
(4)المضلعان المشابهان لثالث متشابهان
(5) اى مضلعين منتظمين لهما نفس عدد الاضلاع يكونان متشابهين
تشابه المثلثات :- الحالة الاولى ـــ نظرية 4
إذاساوت قياسات زوايا أحد مثلثين قياسات نظائرهما فى المثلث الاخر كان المثلثان متشابهان
ملاحظات
(1)يتشابه المثلثان إذاساوى قياسا زاويتين من احدهما قياسا زاويتين فى الاخر
(2) يتشابه المثلثان القائما الزاوية إذاساوىقياس زاوية حادة من احدهما إذاساوىقياس زاوية حادة من الاخر
(3) يتشابه المثلثان المتساويا الساقين إذاساوىقياس إحدى زاويتى القاعدة فى احدهما قياس إحدى زاويتى القاعدة فى الاخر
(4) إذا رسم مستقيم يوازى احد اضلاع مثلث ويقطع الضلعين الاخرين او امتداد يهما فان المثلث الناتج
تذكر أن : -
(1)الزاوية المحيطية المرسومة فى نصف دائرة قائمة وقياسها =590
(2)الزوايا المحيطية التى تحصر نفس القوس فى الدائرة او اقواس متساوية او فى دوائر متطابقة متساوية
(3)قياس الزاوية المماسية يساوى قياس الزاوية المحيطية المرسومة على وتر التماس من الجهة الاخرى
(4)فى الشكل الرباعى الدائرى كل زاويتين متقابلتين متكاملتان
(5)قياس الزاوية الخارجة عند اى راس من رؤوس شكل رباعى دائرى = المقابلة للمجاورة لها
نتيجة هامة
إذارسم من راس القائمة فى المثلث القائم الزاوية عمود على الوتر انقسم المثلث الى مثلثين متشابهين وكل منهما يشابه المثلث الاصلى
الحالة الثانية نظرية(5) إذاساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث اخر وتناسبت اطوال الاضلاع التى تحتويها هاتان الزاويتان فإن المثلثين يتشابهان
الحالة الثالثة نظرية (6) إذاتناسبت أطوال الاضلاع المتناظرة فى مثلثين فإن المثلثين يتشابهان
نظرية(7) النسبة بين مساحتى مثلثين متشابهين تساوى مربع النسبة بين اى ضلعين متناظرين
ملاحظة :- النسبة بين محيطى مثلثين متشابهين تساوى النسبة بين اى ضلعين متناظرين فيهما اى نسبة التكبير
ملاحظات(1)النسبة بين مساحتى مثلثين متحدين فى
حقيقة هندسية
المضلعان المتشابهان يمكن ان ينقسما الى نفس العدد من المثلثات التى يشابه كل منها نظيرة
نظرية(
النسبة بين مساحتى مضلعين متشابهين تساوى مربع النسبة بين طولى اى ضلعين متناظرين فيهماملاخظة النسبة بين محيطى مضلعين متشابهين بتساوى النسبة بين اى ضلعين متناظرين بدون التربيع
تمارين مشهورة
(1) إذاتقاطع المستقيمان الحاويان للوترين أ ب , جـ د لدائرة داخلها او خارجها فى نقطة م حيث م ليست مركز الدائرة
فإن م أ × م ب = م جـ × م د
عكس التمرين المشهورالسابق
إذاتقاطع المستقيمان الحاويان للقطعتين أب , جـ د فى نقطة م ( مختلفة عن أ , ب , جـ , د)
وكان م أ× م ب= م جـ × م د فإن النقط أ , ب , جـ , د تقع على دائرة ويكون الشكل الرباعى دائرى
نتيجة هامة
إذاكانت م نقطة خارج دائرة , م جـ يمس الدائرة عند جـ
, م ب يقطعها فى أ , ب فإن ( م جـ )2= م أ × م ب
مع تحيات أ/ حمدى ابو الحمد ربيعى